原文出处： 石开夏的日志 离散数学课（CSCI 2110）上，讲到一个有趣的问题。 假设有五个男生，五个女生，每个人都在自己心中对五个异性有一定的preference排序，比如：
以上的排序表解读为：男生1最中意女生C，次中意女生B，次次中意女生E…… 以此类推…… 在五男五女全部成功脱光之后（假设都在圈子内部解决），定义一个unstable matching为：如果存在一对不是情侣的男女符合以下情况： 对于该男，该女在他的preference列表中处于现任女友的前面，对于该女，该男在他的preference列表中亦处于现任男友的前面，那么这对男女必然有私奔的倾向…… 这样的情景即为unstable matching。反之，若不存在这样一对有私奔倾向的男女，即为stable matching。 问题是：是否在任何情况下，即不论各位的preference列表如何变化，只要男女数量相同，总是存在一个stable matching。 （当然，搅基之类的，是不可以的……） 在上面五男五女的例子里，一种stable matching如下：
因为每个女生最中意的男生都不同，所以只要让女生们都选择跟自己最中意的男生在一起，她们就都不会有和其他男生私奔的想法。虽然男生们会表示略苦逼啊！仍然不失为一个stable matching……。 那么如果有n男n女，每个人心中都已经有了一个preference 列表，stable matching是不是一定存在呢？ 1962年，Gale 和 Shapley 证明了stable matching是一定存在的。 首先他们给出了一个算法： 第一天早上：所有男生都向自己最中意的女生表白。 第一天中午：每个女生都被表白了n次（可能是0次）之后，拒绝了相对不太中意的那n-1位，hold住其中最中意的那位……即暂时不答应也不拒绝 第一天晚上，被拒绝的男生们在自己的preference列表中划掉了那个拒绝他的人…… 第二天早上：所有没有被hold住的男生都向自己最中意的女生（无视已经被划掉的）表白。 第二天中午：女生们在那些向她表白的男生和已经hold住的那男生中选择最中意的一位，拒绝掉其他的。 第二天晚上：被拒绝的男生们在自己的preference列表中划掉拒绝了自己的人…… 第三天，重复同样的过程…… 第四天…… ………… 这样的过程是有限的，不会一直循环下去。（Claim 1） 在这样的过程结束之后，每个女生都会hold住一个男生。（Claim 2）即在那一天之后没有男生可以继续表白了，这时女生们终于都向那个男生说了yes！ |
